문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 에너지 보존 법칙 (문단 편집) === 증명 === 계의 [[라그랑지언]] [math(\mathcal{L}(q_j,\dot{q_j},t))]를 시간에 대해 미분하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \frac{d q_j}{dt} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \frac{ d \dot{q_j} }{dt} } + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \frac{dt}{dt} \\&= \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \dot{q_j} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \end{aligned} )] }}} 그런데, 닫힌계의 라그랑지언은 시간에 대한 함수가 아니다. 따라서 [math( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{ \partial t} = 0 )]이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{d\mathcal{L}}{dt} = \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \dot{q_j} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } )] }}} 또한, [[오일러-라그랑주 방정식]]에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} )]}}} 이므로, 이를 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned}\frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } \\ \frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{ \frac{d}{dt} \left( \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} } \right) } \end{aligned})] }}} 좌변을 이항해서 [math(\dfrac{d}{dt})]로 묶으면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} }} - \mathcal{L} \right) = 0 )] }}} 이때 괄호 안은 바로 [[해밀토니언]]의 정의이다. 따라서 [math(\dfrac{d\mathcal{H}}{dt}=0)]이므로, 해밀토니언 [math(\mathcal{H})]는 시간에 무관한 상수이다. 따라서 해밀토니언은 보존된다. 한편, 퍼텐셜 에너지가 속도에 의존하지 않는다면 [math(\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q_j}}=0)]이 된다. 따라서 해밀토니언의 정의를 살짝 변형하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} &= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} }} - \mathcal{L} \\&= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial (T-U) }{ \partial \dot{q_j} }} - (T-U) \\& = \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial T }{ \partial \dot{q_j} }} - (T-U) \end{aligned} )] }}} 가 된다. 그런데 [[운동 에너지]] [math(T)]는 [math(\dot{q_j})]에 대한 2차 [[동차함수]]이므로 [[오일러 정리#s-3|오일러의 정리]]에 의하여 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial T }{ \partial \dot{q_j} } } = 2T )]}}} 이다. 이를 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathcal{H} = 2T - (T-U) = T+U = E )] }}} 이다. 따라서 퍼텐셜 에너지가 속도에 의존하지 않는다면 [[해밀토니언]]과 역학적 [[에너지]]가 같다는 것을 알 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기